0 MathBasics集合基础知识一、集合的概念

一、集合的基本概念与性质

1. 集合的定义

集合是由确定的、互不相同的元素组成的无序整体。

确定性：元素是否属于集合有明确判定（如“所有正数”是集合，“所有大数”不是）。

互异性：集合中元素唯一（如 {1, 2, 2} 非法，应写作 {1, 2}）。

无序性：集合中元素顺序无关（如 {1, 2} 与 {2, 1} 是同一集合）。

集合及其运算

2. 常见表示方法

列举法：直接列出元素，如 A = {1, 2, 3}。

描述法：用条件描述元素，如 B = {x | x ∈ ℕ, x ≤ 10}。

符号表示：

x∈Ax \in Ax∈A：xxx 属于集合 AAA；

x∉Ax \notin Ax∈/A：xxx 不属于集合 AAA；

∣A∣|A|∣A∣：集合 AAA 的元素个数（基数）。

3. 特殊集合

空集：不含任何元素，记作 ∅\emptyset∅，是所有集合的子集。

全集：包含讨论范围内所有元素的集合，记作 UUU。

二、集合的关系与运算

1. 集合间的关系

子集：若 ∀x∈A⇒x∈B\forall x \in A \Rightarrow x \in B∀x∈A⇒x∈B，则 A⊆BA \subseteq BA⊆B（AAA 是 BBB 的子集）。

真子集：若 A⊆BA \subseteq BA⊆B 且 A≠BA \neq BA=B，则 A⊂BA \subset BA⊂B。

相等：若 A⊆BA \subseteq BA⊆B 且 B⊆AB \subseteq AB⊆A，则 A=BA = BA=B。

2. 基本运算

运算定义符号/公式位运算等价（有限集）并集包含所有属于 AAA 或 BBB 的元素A∪B={x∣x∈A∨x∈B}A \cup B = \{x \mid x \in A \lor x \in B\}A∪B={x∣x∈A∨x∈B}a∣ba \vert ba∣b交集包含所有同时属于 AAA 和 BBB 的元素A∩B={x∣x∈A∧x∈B}A \cap B = \{x \mid x \in A \land x \in B\}A∩B={x∣x∈A∧x∈B}a&ba \& ba&b差集包含属于 AAA 但不属于 BBB 的元素A−B={x∣x∈A∧x∉B}A - B = \{x \mid x \in A \land x \notin B\}A−B={x∣x∈A∧x∈/B}a&(∼b)a \& (\sim b)a&(∼b)对称差集包含属于 AAA 或 BBB，但不同时属于两者的元素A⊕B=(A−B)∪(B−A)A \oplus B = (A - B) \cup (B - A)A⊕B=(A−B)∪(B−A)a ba \ ^ \ ba b补集包含全集 UUU 中不属于 AAA 的元素A‾=U−A\overline{A} = U - AA=U−A∼a&mask\sim a \& mask∼a&mask

3. 运算性质

交换律：A∪B=B∪AA \cup B = B \cup AA∪B=B∪A，A∩B=B∩AA \cap B = B \cap AA∩B=B∩A。

结合律：(A∪B)∪C=A∪(B∪C)(A \cup B) \cup C = A \cup (B \cup C)(A∪B)∪C=A∪(B∪C)，类似适用于交集。

分配律：A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C)A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)，A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C)A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)。

德摩根定律：A∪B‾=A‾∩B‾\overline{A \cup B} = \overline{A} \cap \overline{B}A∪B=A∩B，A∩B‾=A‾∪B‾\overline{A \cap B} = \overline{A} \cup \overline{B}A∩B=A∪B。

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